Question

若椭圆a²x²+y²=a²（0＜a＜1）上离顶点A（0，a）最远点为（0，-a），则a的取值范围是（　　）

A．0＜a＜1

B． 2 2 ≤a＜1

C． 2 2 ＜a＜1

D．0＜a＜ 2 2

Answer 1

设：P（cost，asint）是椭圆a²x²+y²=a²上任一点，
则|PA|²=cos²t+a²（1-sint）²
=1-sin²t+a²sin²t-2a²sint+a²
=（a²-1）sin²t-2a²sint+a²+1
=（a²-1）(sint-

a2

a2-1

)2-

a4

a2-1

+a²+1，
=（a²-1）(sint-

a2

a2-1

)2-

1

a2-1

．
∵0＜a＜1，
∴a²-1＜0，
∴

a2

a2-1

＜0，
∴当

a2

a2-1

≤-1，
即a²≥1-a²，
即

2

2

≤a＜1时，
sint=-1时取最大值，即|PA|²_max=4a²，
∴|PA|_max=2a，此时点P的坐标为P（0，-a）．
当-1＜

a2

a2-1

＜0时，sint=

a2

a2-1

时，|PA|²_max=-

1

a2-1

=

1

1-a2

，
要满足题意，应有

1

1-a2

=4a²，
解得a²=

1

2

，不满足-1＜

a2

a2-1

＜0，需舍去．
综上所述，满足题意的a的取值范围为：[

2

2

，1）．
故选：A．