Question

已知圆心（a，b）（a＜0，b＜0）在直线y=2x+1上的圆，若其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为，则圆的方程为（ ）
A．（x+2）²+（y+3）²=9
B．（x+3）²+（y+5）²=25
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根据题意画出图形，过M作MA垂直于x轴，MB垂直于y轴，连接MC，由垂径定理得到B为CD中点，由|CD|求出|BC|，由圆与x轴垂直得到圆与x轴相切，所以MA和MC为圆M的半径，在直角三角形MBC中，由|MB|=|a|，|MC|=|MA|=|b|及|BC|，利用勾股定理列出关于a与b的方程，再把M的坐标代入到直线y=2x+1中，又得到关于a与b的另一个方程，联立两方程即可求出a与b的值，从而确定出圆心M的坐标，及圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．
解答：解：根据题意画出图形，如图所示：
过M作MA⊥x轴，MB⊥y轴，连接MC，
由垂径定理得到B为CD中点，又|CD|=2，
∴|CB|=，
由题意可知圆的半径|MA|=|MC|=|b|，|MB|=|a|，
在直角三角形BC中，根据勾股定理得：b²=a²+（）²，①
又把圆心（a，b）代入y=2x+1中，得b=2a+1，②
联立①②，解得：a=-2，b=-3，
所以圆心坐标为（-2，-3），半径r=|-3|=3，
则所求圆的方程为：（x+2）²+（y+3）²=9．
故选A
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理及勾股定理．根据圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径得到所求的圆与x轴相切，进而求出圆的半径为|b|是解本题的关键，同时运用了数形结合的思想解决数学问题，培养了学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．