Question

【题目】已知椭圆W： （a＞b＞0）的上下顶点分别为A，B，且点B（0，﹣1）．F1 ， F2分别为椭圆W的左、右焦点，且∠F1BF2=120°．
（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；
（Ⅱ）点M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN⊥y轴于N，E为线段MN的中点．直线AE与直线y=﹣1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求∠OEG的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依题意，得b=1．又∠F1BF2=120°，

在Rt△BF1O中，∠F1BO=60°，则a=2．

∴椭圆W的标准方程为 ．

（Ⅱ）设M（x0，y0），x0≠0，则N（0，y0），E ．

由点M在椭圆W上，则 ．即 ．

又A（0，1），则直线AE的方程为 ．

令y=﹣1，得C ．

又B（0，﹣1），G为线段BC的中点，则G ．

∴ ， ．

∵ =

= =1﹣y0﹣1+y0=0，

∴ ．则∠OEG=90°，

∠OEG为90°．

【解析】（Ⅰ）由b=1，由∠F1BO=60°，则a=2．即可求得椭圆W的标准方程；（Ⅱ）由题意设N和E点坐标，设直线AE的方程，当y=﹣1，即可求得C点坐标，求得G点坐标，则 ， ．根据向量数量积的坐标运算，即可求得 =0，则 ，则∠OEG=90°．