Question

如图是一个二次函数y=f（x）的图象
（1）写出这个二次函数的零点，并求这个二次函数的解析式；
（2）设函数g(x)=

f(x)+2x

x

，判断函数g（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

Answer 1

分析：（1）由y=f（x）的图象得出零点，求出解析式；
（2）用单调性定义证明g（x）在区间（0，+∞）上是减函数．

解答：解：（1）由图象知，y=f（x）的图象与x轴交点为（-3，0），（1，0），
∴y=f（x）的零点是x=-3和x=1；
设y=f（x）=a（x+3）（x-1），图象过点（-1，4），
∴a（-1+3）（-1-1）=4，
解得a=-1，
∴y=f（x）=-（x+3）（x-1）=-x²-2x+3；
（2）g（x）在区间（0，+∞）上是减函数，证明：
∵f（x）=-x²-2x+3；
∴g(x)=

f(x)+2x

x

=

-x2-2x+3+2x

x

=-x+

2

x

，
在（0，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则g（x₁）-g（x₂）=（-x₁+

2

x1

）-（-x₂+

2

x2

）=（x₂-x₁）+

2(x2-x1)

x1x2

=

(x2-x1)(x1x2+2)

x1x2

；
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∴g（x₁）＞g（x₂）；
∴g（x）在区间（0，+∞）上是减函数．

点评：本题考查了利用函数的图象求解析式以及函数单调性的判定问题，是基础题．