Question

已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，实轴长为2．一条斜率为1的直线l过右焦点F与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆与右准线交于M，N两点．

(1)若双曲线的离心率为2，求圆的半径；

(2)设AB的中点为H，若，求双曲线的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)设所求方程为． 　　由已知2a＝2，∴a＝1，又e＝＝2，∴c＝2． 　　∴双曲线方程为右焦点F(2，0)，L；y＝x－2，代入得 　　． 　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则， 　　∴， 　　∴r＝3． 　　(2)设双曲线方程为L；y＝x－2，代入并整理得 　　． 　　∴． 　　设半径为R，，则． 　　∵，∴，∴． 　　∴，代入得：c2＝3． 　　∴为所求．

提示：

分析：(1)求圆的半径可用直线上的两点间的距离公式．(2)这一条件的应用若用坐标表示则较繁，可使用定义． 　　说明：本题主要考查了圆锥曲线的有关性质，向量的定义及运算，分析问题的能力及数学计算能力．