Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为，M为正方形DCC₁D₁的中心，E、F分别为A₁D₁、BC的中点

（1）求证：AM⊥平面B₁FDE；

（2）求点A到平面EDFB₁的距离；

（3）求二面角A-DE-F的大小。

 

Answer 1

（1）见解析（2） (3)

解析:

（1）证明：连接AM，过M作MG⊥CD于G，连接AG

        ∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，MG⊥CD

        ∴MG⊥平面ABCD

又∵M为正方形DCC₁D₁的中心，MG⊥CD

  ∴G为CD中点

在正方形ABCD中，F为CB中点  ∴CF=DG

又∵AD=DC      ∠DCF=∠ADG=Rt∠

  ∴△ADG≌△DCF     ∴∠AGD=∠DFC     ∴AG⊥DF

由MG⊥平面ABCD，AG⊥DF可得AM⊥DF，

同理可得AM⊥DE

  ∴AM⊥平面B₁FDE

（2）设A到平面DEB₁F的距离为

    ∵E到平面ADF的距离为

    ∴   ∴

       又∵    

             

             

       ∴               

（3）过F作FP⊥AD于P，过P作PQ⊥DE于Q，连接FQ

       ∵FP⊥平面DEP，PQ⊥DE

    ∴FQ⊥DE

       ∴∠FQP为二面角A-DE-F的平面角

       ∵

       ∴

       在R t△FPQ中      

       ∴二面角A-DE-F的大小为