[题目]已知函数..现有如下两种图象变换方案:方案1:将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的一半.纵坐标不变.再将所得图象向左平移个单位长度,方案2:将函数的图象向左平移个单位长度.再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半.纵坐标不变.请你从中选择一种方案.确定在此方案下所得函数的解析式.并解决如下问题:(1)画出函数在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知函数，.现有如下两种图象变换方案：

方案1：将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度；

方案2：将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变.

请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数的解析式，并解决如下问题：

（1）画出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象；

（2）请你研究函数的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结论.

【答案】（1），图象见解析；（2）见解析.

【解析】

利用函数的图象变换规律可知无论在何种方案下所得的函数都是，

（1）作出函数在这一周期上的图象：

（2）利用正弦函数的图象和性质即可得出结论．

解：方案1：将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到，再将图象向左平移个单位长度得到，即

方案2：将函数的图象向左平移个单位长度得到，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到，即

所以，无论在何种方案下所得的函数都是，

（1）如图，是函数在这一周期上的图象：

（2）函数

定义域：；值域：；周期：；

奇偶性：因为，，所以不具有奇偶性．

单调性：令，

解得，，即函数在，上单调递增；

同理可得函数的单调递减区间为：，

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