Question

已知函数，其中a是大于0的常数．
（1）设，判断并证明g（x）在内的单调性；
（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2+∞）内的最小值；
（3）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．

Answer 1

解：（1）设在内有两个自变量x₁、x₂，且x₁＜x₂，
则g（x₁）-g（x₂）=-=
==
∵x₁＜x₂，，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0且x₁x₂-a＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，可得g（x₁）＜g（x₂）
所以函数g（x）在内是增函数；
（2）设，当a∈（1，4），x∈[2，+∞）时
由（1）知在[2，+∞）上是增函数
又∵对数函数y=lgx在其定义域上为增函数，
∴在[2，+∞）上是增函数
∴在[2，+∞）上的最小值为
（2）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
即在区间[2，+∞）恒成立，
而常用对数的底为10＞1，lg1=0，所以对x∈[2，+∞）恒成立
∴移项，去分母得a＞3x-x²区间[2，+∞）恒成立，即a＞（3x-x²）_max
设，
∵在x∈[2，+∞）上h（x）是减函数
∴h（x）_max=h（2）=2，
∴a＞2
分析：（1）用单调性的定义进行证明：设在内有两个自变量x₁、x₂，且x₁＜x₂，然后将g（x₁）-g（x₂）分解因式，得到，通过讨论这个差的正负，得到g（x₁）＜g（x₂），从而g（x）在内是增函数；
（2）根据（1）的结论，得到真数对应的函数当a∈（1，4）时，在区间[2+∞）内是增函数，再结合对数函数y=lgx在其定义域上为增函数，得到f（x）在[2+∞）上也是增函数，从而得出最小值为；
（3）将不等式f（x）＞0变形，得到不等式对x∈[2，+∞）恒成立，然后移项去分母，可得a＞3x-x²区间[2，+∞）恒成立，即a＞（3x-x²）_max．最后求出二次函数h（x）=3x-x²在区间[2，+∞）上是减函数，从而得到其最大值为h（2）=2，从而得到a的取值范围是（2，+∞）．
点评：本题给出一个分式函数与对数函数复合类型的函数，通过研究它的单调性与最值，考查了用定义证明函数单调性、对数函数图象与性质的综合应用、复合函数的单调性和函数的最值等知识点，属于中档题．