Question

已知

a

=(m，sin2x)，

b

=(cos2x，n)，x∈R，f(x)=

a

•

b

，若函数f（x）的图象经过点（0，1）和(

π

4

，1)．
（1）求m、n的值；
（2）用五点法画出f（x）在一个周期内的大致图象．
（3）若函数g（x）=af（x）+1在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值与最小值之和为3，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先求得f（x）=mcos2x+nsin2x，再根据它的图象过 (0，1)，(

π

4

，1)，求得m和n的值．
（2）由（1）可得 f(x)=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，再用五点法作出它在一个周期上的简图．
（3）根据正弦函数的定义域和值域，结合函数g（x）=af（x）+1在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值与最小值之和为3，求得a的值．

解答：解：（1）求得f（x）=mcos2x+nsin2x，再根据它的图象过 (0，1)，(

π

4

，1)，求得m=1，n=1．
（2）由（1）可得 f(x)=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
列表：

2x+ π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 8	π 8	3π 8	5π 8	7π 8
f（x）	0	2	0	- 2	0

如图：

（3）∵g(x)=

2a

sin(2x+

π

4

)+1，-

π

4

≤x≤

π

4

，∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3

4

π，
∴-1≤

2

sin(2x+

π

4

)≤

2

，-a≤

2

asin(2x+

π

4

)≤

2

a(a＞0)，
或a＜0，

2

a≤

2

asin(2x+

π

4

)≤-a，
∴

2

a-a+2=3，a=

2

+1．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．