Question

（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W.

(Ⅰ)求W的方程；

(Ⅱ)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，已知点M（，0），

N（0, 1），是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，

请说明理由.

  

Answer 1

解：(Ⅰ) 设C（x, y）,

∵ , , ∴ ,

∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.

∴ .  ∴ .

∴ W:   . …………………………………4分

(Ⅱ) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.

整理，得.         ①……………………6分

因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

，解得或.

∴ 满足条件的k的取值范围为 ………… 8分

设P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),则＝（x₁+x₂，y₁+y₂),

由①得.                 ②

又                ③

因为，， 所以.………………11分

所以与共线等价于.

将②③代入上式，解得.

所以不存在常数k，使得向量与共线. …………13分