Question

【题目】如图，矩形为一张台球桌面，，.从点击出一个球，其可无限次经台球桌四边反弹运行.已知该球经过矩形的中心.

（1）试求所有整点 的个数，使得该球可以经过点；

（2）若该球在上述、两点间的最短路径长为，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）将矩形及点、整体向右、上方向翻转复制，得到一系列矩形.

设第列、第行矩形中、的像分别为、.则

；

，

，

，

.

设、的斜率分别为、.则

， ①

，，

，.

故经过点的球可以经过点

存在、、、，使得. ②

为使式②成立，必须， .

故.

（2）下面利用式②验证球可以经过上述点，并计算.

对前五个点，有，且，

，.

对中间四个点，有，故球在、之间必须经台球桌四边之一反弹，有

，

.

从而，，

.

对，若球在某一矩形内直接经过、（不必经矩形边反弹），则.

此时，由式①知，且.但当时，，矛盾.

若球在、之间只反弹一次，则球经过某两个相邻的矩形中的、，有，但由式①有，矛盾.

故球在、之间必须经台球桌四边反弹至少两次，有

.

从而，.

综上，所求整点有11个，且.