Question

如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=

2

3

AB，又P0⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=

1

2

PO．
（I）求证：PB∥平面COD；
（II）求证：PD⊥平面COD．

Answer 1

分析：（I）根据线面垂直，得到线线平行，然后即可证明线面垂直．
（II）根据题意，设出OA并表示出OP，OB，DA，然后通过线面垂直得到DA⊥平面ABC，在△PDO中，根据勾股定理判定直角三角形，然后得到PD⊥DO，最终综合即可证明线面垂直．

解答：证明：∵PO⊥平面ABCD，AD∥PO，
∴DA⊥AB，PO⊥AB
又DA=AO=

2

3

AB．∴∠AOD=

π

4

又AO=

1

2

PO，∴OB=OP∴∠OBP=

π

4

∴OD∥PB
又PB?平面OCD，OD?平面COD．∴PB∥平面COD．
（II）依题意可设OA=a，则PO=OB=OC=2a，DA=a，
由DA∥PO，且PO⊥平面ABC，
知DA⊥平面ABC．
从而PD=DO=

2

a，
在△PDO中∵PD=DO=

2

a，PO=2a∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO
又∵OC=OB=2a，∠ABC=45°，∴CO⊥AB
又PO⊥平面ABC，∴CO⊥平面PAB、
故CO⊥PD．
∵CO与DO相交于点O．
∴PD⊥平面COD．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，通过在几何体中建立关系得以证明结论，属于中档题．