Question

设函数f（x）=

2x+3

3x

（x＞0），数列{a_n}满足a1=1，an=f(

1

an-1

)（n∈N^*，且n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（3）是否存在以a₁为首项，公比为q（0＜q＜5，q∈N^*）的数列{a_n k}，k∈N^*，使得数列{a_n k}中每一项都是数列{a_n}中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{n_k}的通项公式；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由an=f(

1

an-1

)=

2× 1 an-1 +3

3× 1 an-1

=an-1+

2

3

，（n∈N^*，且n≥2），知an-an-1=

2

3

．再由a₁=1，能求出数列{a_n}的通项公式；
（2）当n=2m，m∈N*时，T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅++（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）++a_2m（a_2m-1-a_2m+1）=-

4

3

(a2+a4++a2m)=-

4

3

×

a2+a2m

2

×m=-

1

9

(8m2+12m)=-

1

9

(2n2+6n)．当n=2m-1，m∈N*时，T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=-

1

9

(8m2+12m)+

1

9

(16m2+16m+3)=

1

9

(8m2+4m+3)=

1

9

(2n2+6n+7)．由此入手能求出实数t的取值范围．
（3）由an=

2n+1

3

，知数列{a_n}中每一项都不可能是偶数．如存在以a₁为首项，公比q为2或4的数列{a_nk}，k∈N^*，此时{a_nk}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a₁为首项，公比为偶数的数列{a_nk}．当q=1时，显然不存在这样的数列{a_nk}．当q=3时，an 1=1，n₁=1，ank=3k-1=

2nk+1

3

，nk=

3k-1

2

．所以满足条件的数列{n_k}的通项公式为nk=

3k-1

2

．

解答：解：（1）因为an=f(

1

an-1

)=

2× 1 an-1 +3

3× 1 an-1

=an-1+

2

3

，（n∈N^*，且n≥2），
所以a_n-a_n-1=

2

3

．（2分）
因为a₁=1，
所以数列{a_n}是以1为首项，公差为

2

3

的等差数列．
所以a_n=

2n+1

3

．（4分）
（2）①当n=2m，m∈N*时，T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅++（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）++a_2m（a_2m-1-a_2m+1）=-

4

3

(a2+a4++a2m)=-

4

3

×

a2+a2m

2

×m=-

1

9

(8m2+12m)=-

1

9

(2n2+6n)．（6分）
②当n=2m-1，m∈N*时，T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=-

1

9

(8m2+12m)+

1

9

(16m2+16m+3)=

1

9

(8m2+4m+3)=

1

9

(2n2+6n+7)．（8分）
所以T_n=

- 1 9 (2n2+6n)，n为偶数 1 9 (2n2+6n+7)，n为奇数

要使T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，
只要使-

1

9

(2n2+6n)≥tn2，（n为偶数）恒成立．
只要使-

1

9

(2+

6

n

)≥t，对n为偶数恒成立，
故实数t的取值范围为(-∞，-

5

9

]．（10分）
（3）由a_n=

2n+1

3

，知数列{a_n}中每一项都不可能是偶数．
①如存在以a₁为首项，公比q为2或4的数列{a_nk}，k∈N^*，
此时{a_nk}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a₁为首项，公比为偶数的数列{a_nk}．（12分）
②当q=1时，显然不存在这样的数列{a_nk}．
当q=3时，若存在以a₁为首项，公比为3的数列{a_nk}，k∈N^*．
则an 1=1，n₁=1，ank=3k-1=

2nk+1

3

，n_k=

3k-1

2

．
所以满足条件的数列{n_k}的通项公式为n_k=

3k-1

2

．（16分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．