Question

【题目】已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线 的距离小1.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点 P(2，2)的直线m与曲线C交于A,B两点，设当△AOB的面积为4时（O为坐标原点），求 的值.

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】 点M到点F(1.0)的距离比它到直线的距离小于1，

∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线 的距离相等 所以点M的轨迹C是以F为焦点，l'为准线的抛物线 ，所以曲线C的方程为x2=4y .

（2）

【解答】当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，

设直线m的方程为 ，代入 （*）

,对恒成立,所以直线m与曲线C恒有两个不同的交点设交点A，B的坐标分别为 ，

则

所以

点O到直线m的距离 ，

所以

所以或（舍去）

或

当 是, 方程（*）的解为 ,或

当 时 方程（☆）的解为

【解析】（1）由题设知：点M的轨迹C是以F为焦点，l′为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．（2）设直线m的方程为y=kx+（2-2k），代入x2=4y，得x2-4kx+8（k-1）=0，由△=16（k2-2k+2）＞0对k∈R恒成立，知直线m与曲线C恒有两个不同的交点，再由韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，利用 、△AOB的面积为4 ，能求出λ的值．