Question

已知方程x²+（2k-1）x+k²=0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．

Answer 1

分析：解法一，将两个根都减去1将已知中的两个大于1的实数根转化为两个数都大于0转化为两个数的和大于0同时积大于0，利用韦达定理转化为k的不等式，求出k的范围．
解法二，构造相应的函数，结合函数的图象从对称轴与区间的关系、区间两个端点的函数值的符号、判别式三个方面加以限制，写出充要条件．

解答：解：法一：∵x²+（2k-1）x+k²=0，则方程有两个大于1的实数根x₁、x₂：

? △=(2k-1)2-4k2≥0 (x1-1)(x2-1)＞0 (x1-1)+(x2-1)＞0

?

k≤ 1 4 x1x2-(x1+x2)+1＞0 (x1+x2)-2＞0

?

k≤ 1 4 k2+(2k-1)+1＞0 -(2k-1)-2＞0

?k＜-2
所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是：k＜-2         
法二：∵方程x²+（2k-1）x+k²=0对应的函数为f（x）=x²+（2k-1）x+k²
方程x²+（2k-1）x+k²=0有两个大于1的实数根

? △=(2k-1)2-4k2≥0 - (2k-1) 2 ＞1 f(1)=k2+2k＞0

?

k≤ 1 4 k＜- 1 2 k＜-2或k＞0

?k＜-2
所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是：k＜-2

点评：解决二次方程的实根分布问题，一般先画出相应的二次函数的图象，结合图象从对称轴与区间的关系、区间两个端点的函数值的符号、判别式三个方面加以限制即可．