Question

（1）设一次函数f（x）满足f（3）=2，f（2）=3，求f（5）的值；
（2）若函数f（x）的定义域为[a，b]，值域为[a，b]（a＜b），则称函数f（x）是[a，b]上的“方正”函数．
①设g(x)=

1

2

x2-x+

3

2

是[a，b]上的“方正”函数，求常数a，b的值．
②问是否存在常数a，b（a＞-2），使函数h(x)=

1

x+2

是区间[a，b]上的“方正”函数？若存在，求出a，b的值；不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接设出函数解析式，根据已知条件列出方程求出解析式即可得到结论．
（2））①先由g(x)=

1

2

(x-1)2+1≥1知g（x）在[a，b]上单调增函数且a≥1，再结合“方正”函数的定义得到g（a）=a，g（b）=b，即a，b是方程g（x）=x的两个根；解方程即可求出常数a，b的值．
②根据a＞-2，得到h(x)=

1

x+2

在区间[a，b]上是单调减函数，值域为[h（b），h（a）]=[a，b]，解对应的方程组求出a=b与a＜b矛盾即可得到结论．

解答：解：（1）设f（x）=mx+n（m≠0），又f（3）=2，f（2）=3，
所以3m+n=2，2m+n=3⇒m=-1，n=5
即f（x）=-x+5⇒f（5）=0；…（4分）
（2）①由g(x)=

1

2

(x-1)2+1≥1知g（x）在[a，b]上单调增函数且a≥1，
所以值域为[g（a），g（b）]，
由已知g(x)=

1

2

x2-x+

3

2

是[1，b]上的“方正”函数，所以[g（a），g（b）]=[a，b]
则g（a）=a，g（b）=b，即a，b是方程g（x）=x的两个根（1≤a＜b）
解方程

1

2

x2-x+

3

2

=x得x=1或x=3，所以a=1，b=3…（9分）
②假设存在常数a，b，使函数h(x)=

1

x+2

是区间[a，b]上的“方正”函数．
因a＞-2，显然h(x)=

1

x+2

在区间[a，b]上是单调减函数，值域为[h（b），h（a）]=[a，b]，
即

h(a)=b h(b)=a

⇒

1 a+2 =b 1 b+2 =a

⇒

(a+2)b=1 (b+2)a=1

⇒(a+2)b=(b+2)a⇒a=b与a＜b矛盾，
故不存在常数a，b，使函数h(x)=

1

x+2

是区间[a，b]上的“方正”函数．…（14分）

点评：本题主要是在新定义下对函数单调性应用的考查，考查计算能力以及分析问题的能力．