Question

【题目】已知圆经过点,，圆心在直线上

（1）求圆的标准方程；

（2）若直线与圆C相切且与轴截距相等，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由已知线段AB为圆C的弦，圆心C定在弦AB的垂直平分线上，写出线段AB垂直平分线方程，与直线联立，即得圆心C坐标，计算|AC|长，即为圆C半径，从而可得圆的标准方程；（2）分两种情况考虑：当与坐标轴的截距为0时，设切线方程为y＝kx；当与坐标轴的截距不为0时，设切线方程为x+y＝b，利用圆心到直线的距离等于半径，可得切线方程．

（1）由题意可知AB为圆C的弦，其垂直平分线过圆心C，

∵A（0，0）和B（7，7），∴kAB＝1，线段AB垂直平分线的斜率为-1，

又线段AB的中点坐标为（，），

∴线段AB的垂直平分线的方程为：y﹣＝-（x-），即x+y-7＝0，

又圆心在直线4x-3y＝0上，联立得：，

解得：，即圆心C坐标为（3，4），

∴圆C的半径|AC|＝5，

则圆C的方程为：（x-3）2+（y﹣4）2＝25；

（2）若直线过原点，设切线方程为y＝kx，即kx﹣y＝0，

圆心C到切线的距离d＝，

整理得：16k2+24k+9＝0，解得：k＝，

所求切线的方程为：y＝；

若截距不为0时，设圆的切线方程为：x+y＝b，

圆心C到切线的距离d＝＝r＝5，解得b＝7±5，

所求切线方程为，

综上，所有满足题意的切线方程有3条，分别为.