Question

如图所示是某水产养殖场的养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的小网箱．
（1）若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长x，宽y设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小；
（2）若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超过15米，则小网箱的长、宽为多少米量，可使总造价最低？

Answer 1

分析：（1）将实际问题转化成数学问题，出现乘积是定值，且等号能取到，利用基本不等式求最值．
（2）将实际问题转化成数学问题，出现乘积是定值，但等号取不到，不能用基本不等式求最值，利用导数求函数单调性求最值．

解答：解：（1）设小网箱的长、宽分别为x米、y米，筛网总长度为S，
依题意4x•2y=108，即xy=

27

2

，S=4x+6y，
因为4x+6y=2(2x+3y)≥4

6xy

=36，所以S≥36，
当且仅当2x=3y时，等号成立，
解方程组

2x=3y xy= 27 2

得

x=4.5 y=3.

即每个小网箱的长与宽分别为与4.5米与3米时，网箱中筛网的总长度最小．
（2）设总造价为W元，则由4x•2y=160，得xy=20，
因为4x≤15，2y≤15，所以x≤

15

4

，y≤

15

2

，y=

20

x

≤

15

2

，∴

8

3

≤x≤

15

4

W=(8x+4y)•112+(4x+6y)•96=(8x+4×

20

x

)•112+(4x+6×

20

x

)•96=1280(x+

16

x

)，
求导，可得W（x）在[

8

3

，

15

4

]上单调递减，所以当x=

15

4

时，W最小，此时x=

15

4

，y=

16

3

，
即当小网箱的长与宽分别为

15

4

米与

16

3

米时，可使总造价最低．

点评：本题考查利用基本不等式请求函数的最值是一定注意使用的条件：一正；二定；三相等．