Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC=60°，AB=BC=AC，E是PD的中点，F为ED的中点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）求证：CF∥平面BAE．

Answer 1

证明：（1）因为PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
所以PA⊥CD，
又AC⊥CD，且AC∩PA=A，
所以CD⊥平面PAC，…（4分）
又CD?平面PCD，
所以平面PAC⊥平面PCD．…（6分）
（2）取AE中点G，连接FG，B G．
因为F为ED的中点，
所以FG∥AD．…（8分）
在△ACD中，AC⊥CD，∠DAC=60°，
所以AC=AD，
所以BC=AD．
在△ABC中，AB=BC=AC，所以∠ACB=60°，
可得∠ACB=∠DAC，
所以AD∥BC．…（11分）
所以FG∥BC，FG=BC，
所以四边形FGBC为平行四边形，
所以CF∥BG．
又BG?平面BAE，CF?平面BAE，
所以CF∥平面BAE． …（14分）
分析：（1）由题意可得：PA⊥CD，又AC⊥CD，即可利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，进而利用面面垂直的判断定理可得答案．
（2）取AE中点G，连接FG，B G，可得FG∥AD，再利用解三角形的有关知识可得：BC=AD，即可得到∠ACB=60°，所以∠ACB=∠DAC，可得四边形FGBC为平行四边形，即
CF∥BG，进而利用线面平行的判断定理可证明线面平行．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握线面垂直、面面垂直、线面平行的判断定理，以及解三角形的有关知识，此题属于中档题，高考题目的热点之一．