Question

【题目】（1）证明：当时， ；

（2）若不等式对任意的正实数恒成立，求正实数的取值范围；

（3）求证： .

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.

【解析】试题分析：

(1)结合函数的定义域可导函数的性质即可证得不等式的结论；

(2)原问题转化为 ，构造函数 ，结合新函数的性质可得正实数的取值范围是；

(3)将不等式进行恒等变形，结合(2)的结论证得不等式成立即可.

试题解析：

（1）令函数，定义域是，

由 ，可知函数在上单调递减，

故当时， ，即.

（2）因为， ，故不等式可化为（*），

问题转化为（*）式对任意的正实数恒成立，构造函数 ，

则 ，

①当时， ， 即在上单调递增，

所以，即不等式对任意的正实数恒成立.

②当时， ，因此， ，函数单调递减；

， ，函数单调递增，

所以 ， ， ，令，

由（1）可知 ，不合题意.

综上可得，正实数的取值范围是.

（3）要证，即证 ，

由（2）的结论令，有对恒成立，取可得不等式成立，综上，不等式成立.