Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，猜想a_n的表达式，并证明你的猜想．
（2）设A_n为数列{}的前n项积，是否存在实数a，使得不等式A_n对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上，故=n+．
∴S_n=n²+a_n，令n=1得a₁=1+a₁，∴a₁=2
令n=2得a₁+a₂=4+a₂，∴a₂=4
令n=3得a₁+a₂+a₃=9+a₃，∴a₃=6
由此猜想：a_n=2n（n∈N*），（2分）
下面用数字归纳法证明：
①当n=1时，由上面的求解知，猜想成立．（3分）
②假设n=k时猜想成立，即a_k=2k成立，
那么，当n=k+1时，由条件知，S_k=k²+a_k，S_k+1=（k+1）²+a_k+1，
两式相减，得a_k+1=2k+1+a_k+1-a_k，
∴a_k+1=4k+2-a_k=4k+2-2k=2（k+1）
即当n=k+1时，猜想成立．
根据①、②知，对一切n∈N*，a_n=2n成立．（6分）
（2）∵=1-，故A_n=（1-）（1-）（1-），
∴A_n=（1-）（1-）（1-）
又f（a）-=a+-=a-
故A_n＜f（a）-对一切n∈N*都成立，就是
（1-）（1-）（1-）•＜a-对一切n∈N*都成立．（8分）
设g（n）=（1-）（1-）（1-），则只需g（n）_max＜a-即可．（9分）
由于=（1-）•=•
=＜1
∴g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，
于是g（n）_max=g（1）=，（12分）
由＜a-得＞0解得-＜a＜0或a＞．
综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a存在，且a的取值范围为（-，0）∪（，+∞）．（14分）
分析：（1）由题设知=n+，S_n=n²+a_n，令n=1，2，3，分别求出a₁，a₂，a₃，然后仔细观察，总结规律，猜想：a_n=2n（n∈N*），再用用数字归纳法证明．
（2）由=1-，知A_n=（1-）（1-）（1-），A_n=（1-）（1-）（1-），又f（a）-=a+-=a-，故A_n＜f（a）-对一切n∈N*都成立，由此能够推导出使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a存在，并且能求出a的取值范围．
点评：本题考是数列的性质和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式的合理运用．