Question

（2005•朝阳区一模）圆C：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数）的普通方程为

（x-1）²+y²=1

，设O为坐标原点，点M（x₀，y₀）在C上运动，点P（x，y）是线段OM的中点，则点P的轨迹方程为

（2x-1）²+4y²=1

．

Answer 1

分析：（1）利用sin²θ+cos²θ=1，消去参数θ得它的普通方程；
（2）利用中点坐标公式得点P与点M坐标之间的关系，再结合点M（x₀，y₀）在C上运动知其坐标适合曲线C的参数方程，最终消去参数即可得到点P轨迹的普通方程．

解答：解：圆C：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数）利用sin²θ+cos²θ=1，
消去参数θ得它的普通方程为（x-1）²+y²=1；
∵点P（x，y）是线段OM的中点，
∴x₀=2x，y₀=2y，
又点M（x₀，y₀）在C上，
∴x₀=1+cosθ，y₀=sinθ，
∴2x=1+cosθ，2y=sinθ，
消去参数θ得
（2x-1）²+4y²=1
故答案为：（x-1）²+y²=1；（2x-1）²+4y²=1．

点评：本题考查点的参数方程和直角坐标的互化及参数法求点的轨迹方程的方法，属于基础题之列．