给定椭圆
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为
，且其短轴上的一个端点到
的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程和其“准圆”方程；
(Ⅱ)点
是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线
，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直，并说明理由．
(Ⅰ)
，
；(Ⅱ)垂直.
解析试题分析：(Ⅰ)利用焦点坐标求出
，利用短轴上的一个端点到的距离为，求出
，解出
，
，写出椭圆方程，通过得到的，求出准圆的半径，直接写出准圆方程；(Ⅱ)分情况讨论：①当中有一条直线的斜率不存在时，②当的斜率都存在时.
试题解析：(Ⅰ)由题意可知，，则，，
所以椭圆方程为. 2分
易知准圆半径为
，
则准圆方程为. 4分
(Ⅱ)①当中有一条直线的斜率不存在时，
不妨设
的斜率不存在，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为
，
当的方程为
时，此时与准圆交于点
，
，
此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是
或
，
即
为或，显然直线垂直； 6分
同理可证直线的方程为
时，直线也垂直． 7分
②当的斜率都存在时，设点
，其中
.
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
，
由
消去
，得
.
由
化简整理得，
. 因为，
所以有
. 10分
设直线的斜率分别为
，因为与椭圆只有一个公共点，
所以满足方程，
所以
，即垂直． 12分
综合①②知，垂直． 13分
考点：1.椭圆方程；2.分类讨论思想解题.
小学课堂作业系列答案
金博士一点全通系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C：
＋
＝1（a＞b＞0）的离心率为
，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为
．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有
＝
＋
成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
椭圆
的左、右焦点分别为F1(-1，0)，F2(1,0)，过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A,B两点.
（Ⅰ）若ΔABF2为正三角形，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的离心率满足
,0为坐标原点，求证
为钝角.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的离心率为
，
，
为椭圆
的两个焦点，点
在椭圆上，且
的周长为
。
（Ⅰ）求椭圆的方程
（Ⅱ）设直线
与椭圆相交于
、
两点，若
（
为坐标原点），求证：直线与圆
相切.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的右焦点为
，离心率为
．
分别过
，
的两条弦
，
相交于点
（异于
，
两点），且
．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线
，
的斜率之和为定值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C:
的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为
的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆C的方程；
(II)若直线y =kx交椭圆C于A，B两点，在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得 ΔPAB为等边三角形,求k的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知焦点在
轴上的椭圆
和双曲线
的离心率互为倒数，它们在第一象限交点的坐标为
，设直线
（其中
为整数）.
（1）试求椭圆
和双曲线
的标准方程；
（2）若直线
与椭圆交于不同两点
，与双曲线交于不同两点
，问是否存在直线，使得向量
，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
，
以原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
⑴ 求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
⑵ 当
时，曲线和相交于
、
两点，求以线段
为直径的圆的直角坐标方程.
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的左、右焦点分别为
离心率为
直线
与C的两个交点间的距离为
；
的直线l与C的左、右两支分别相交有A、B两点，且
证明：