Question

【题目】在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin2 ﹣cos2A= ．
（1）求角A的大小；
（2）若BC边上高为1，求△ABC面积的最小值？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A+B+C=π，

∴sin =sin =cos ，

∵4sin2 ﹣cos2A= ．

∴4cos2 ﹣cos2A= ．

∴2（1+cosA）﹣（2cos2A﹣1）= ，

整理得（2cosA﹣1）2=0，

∴cosA= ，

∵0＜A＜π，

∴A= ．

（2）解：过点A作AD⊥BC，在Rt△ABD，Rt△ACD中，sinB= ，sinC= ，

S△ABC= bcsinA= × × × = ，

设y=4sinBsinC，

则y=4sinBsin（ ﹣B）=2 sinBcosB+2sin2B= sin2B+1﹣cos2B=2sin（2B﹣ ）+1，

∵0＜B＜ ，0＜ ＜ ，

∴ ＜B＜ ， ＜2B﹣ ＜ ，

∴当2B﹣ = ，即B= 时，y有最大值为3，

∴此时S有最小值，为 ．

【解析】（1）利用三角形内角和，转化B+C，用诱导公式、降幂公式、倍角公式化简，得到关于cosA的方程，求得cosA，进而求得A．（2）在Rt△ABD，Rt△ACD中，sinB= ，sinC= ，代入三角形面积公式，求得面积的最值，只需化简求表达式中分母的最值，将C用B表示，利用两角和公式化简，利用B的范围求得分母的最值，进而求得面积的最值．
【考点精析】掌握三角函数的最值是解答本题的根本，需要知道函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．