Question

【题目】设函数f（x）=|ex﹣a|+| ﹣1|，其中a，x∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…
（1）当a=0时，解不等式f（x）＜2；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）设a≥ ，讨论关于x的方程f（f（x））= 的解的个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=0时，不等式f（x）＜2，即： ，

即 ，因此

得 ，所以 ，

所以原不等式的解集为 ．

（2）解：①当a≤0时，

因为x＞0时， ，x＜0时， ，

故f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增；…（5分）

②当0＜a＜1时， ，

仿①得f（x）在（﹣∞，lna）和（lna，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，

即f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增；（6分）

③当a=1时，

易得f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增； …（7分）

④当a＞1时，

同理得f（x）在区间（﹣∞，lna）上单调递减，在区间（lna，+∞）上单调递增．…（8分）

综上所述，

当a≤1时，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增；

当a＞1时，f（x）在区间（﹣∞，lna）上单调递减，在区间（lna，+∞）上单调递增．…（10分）

（3）解：由（2）知：当 时，因为 ，

又x→+∞时， ，

所以f（x）的值域为 ，且 （等号仅当 时取）．）

令 ，

当 时， ，所以 不成立，原方程无解；

当 时，由 得 ，因为 ，所以 ，

所以 有两个不相等的实数根，故原方程有两个不同的实数解．

综上所述，当 时，原方程无解；当 时，原方程有两个不同的实数解．

【解析】（1）将a=0代入不等式，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）通过讨论a的范围，求出f（x）的分段函数，从而求出函数的单调区间；（3）先求出函数的值域，结合换元法以及a的范围，求出方程的解即可．
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本，需要知道含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．