Question

17、已知适合不等式|x²-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3，求实数a的值，并解该不等式．

Answer 1

分析：首先分析题目已知适合不等式|x²-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3，即可得到|x-3|=3-x．然后可以分类讨论x²-4x+a＜0，x²-4x+a≥0的情况，去绝对值号，求得解集即可得到答案．

解答：解：已知适合不等式|x²-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3，即x≤3，所以|x-3|=3-x．
（1）若x²-4x+a＜0，则原不等式化为x²-3x+a+2≥0．
此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集，所以x²-4x+a＜0不成立．
（2）若x²-4x+a≥0，则原不等式化为x²-5x+a-2≤0．因为x≤3，
令x²-5x+a-2=（x-3）（x-m）=x²-（m+3）x+3m，比较系数，得m=2，所以a=8．
此时，原不等式的解集为{x|2≤x≤3}
故答案为a=8，不等式解集为{x|2≤x≤3}．

点评：此题主要考查绝对值不等式的应用问题，考查学生灵活求解能力，题中用到分类讨论思想，有一定的计算量属于中档题目．