Question

【题目】已知圆与椭圆相交于点M（0，1），N（0，-1），且椭圆的离心率为.

（1）求的值和椭圆C的方程；

（2）过点M的直线交圆O和椭圆C分别于A，B两点.

①若，求直线的方程；

②设直线NA的斜率为，直线NB的斜率为，问:是否为定值? 如果是，求出定值；如果不是，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）由交点M（0，1）可求b，由离心率可求a，从而得到椭圆方程；（2）①设出直线l的方程，分别联立椭圆方程和圆的方程，解出A，B两点的坐标，由得到关于k的方程，求解即可得到结果；②结合①中A，B两点的坐标，利用斜率公式直接用k表示和，由此可求得结果.

（1）因为圆与椭圆相交于点M（0，1）所以b=r=1.又离心率为，所以，所以椭圆.

（2）①因为过点M的直线l另交圆O和椭圆C分别于A，B两点，所以设直线l的方程为，由，得，

则，同理，解得，

因为，则，

因为，所以，即直线l的方程为.

②根据①，，，

，，

所以为定值.