Question

已知四棱锥（如图）底面是边长为2的正方形.侧棱底面，、分别为、的中点，于。

   （Ⅰ）求证：平面⊥平面；

   （Ⅱ）直线与平面所成角的正弦值为，求PA的长；

   （Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求二面角的余弦值。

Answer 1

(1)证明见解析(2)2 (3)

解析:

（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，MN底面ABCD

∴MN⊥PA   又MN⊥AD   且PA∩AD=A

∴MN⊥平面PAD  ………………3分

MN平面PMN   ∴平面PMN⊥平面PAD  …………4分

（Ⅱ）∵BC⊥BA   BC⊥PA   PA∩BA=A   ∴BC⊥平面PBA

∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角 

即…………7分

在Rt△PBC中，PC=BC/sin∠BPC=

∴  ………………10分

（Ⅲ）由（Ⅰ）MN⊥平面PAD知   PM⊥MN   MQ⊥MN

∴∠PMQ即为二面角P—MN—Q的平面角  …………12分

而

∴   …………14分