Question

（2013•盐城三模）设点P是曲线y=x²上的一个动点，曲线y=x²在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=x²的另一交点为Q，则PQ的最小值为

3 3

2

．

Answer 1

分析：设出P点坐标，求导得直线l的斜率，则过点P且与直线l垂直的直线方程可求，和抛物线联立后求出Q点的坐标，利用两点式写出PQ的距离，先利用换元法降幂，然后利用导数求最值．

解答：解：设P(x0，x02)，由y=x²得y′|x=x0=2x0，
所以过点P且与直线l垂直的直线方程为y-x02=-

1

2x0

(x-x0)．
联立y=x²得：2x0x2+x-2x03-x0=0．
设Q（x₁，y₁），则x0+x1=-

1

2x0

，所以x1=-

1

2x0

-x0，
y1=x12=(-

1

2x0

-x0)2=

1

4x02

+x02+1．
所以|PQ|=

(x1-x0)2+(y1-y0)2

=

(- 1 2x0 -2x0)2+( 1 4x02 +1)2

=

1 4x02 +2+4x02+ 1 16x04 + 2 4x02 +1

4x02+ 1 16x04 + 3 4x02 +3

．
令t=4x02＞0．
g（t）=t+

1

t2

+

3

t

+3．
则g′(t)=1-

2

t3

-

3

t2

=

(t+1)2(t-2)

t3

，
当t∈（0，2）时，g^′（t）＜0，g（t）为减函数，
当t∈（2，+∞）时，g^′（t）＞0，g（t）为增函数，
所以g(t)min=g(2)=

27

4

．
所以PQ的最小值为

3 3

2

．
故答案为

3 3

2

．

点评：本题考查了利用导数求曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，解答此题的关键是把高次幂的函数式通过换元降幂，是中档题．