Question

（08年长郡中学二模理）（12分） 如图，直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点.

    （Ⅰ）求与平面A₁C₁CA所成角的大小；

    （Ⅱ）求二面角B―A₁D―A的大小；

    （Ⅲ）试在线段AC上确定一点F，使得EF⊥平面A₁BD.

Answer 1

解析：（Ⅰ）连接A₁C.∵A₁B₁C₁－ABC为直三棱柱，∴CC₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥BC.

    ∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A₁C₁CA. ……………1分

    ∴为与平面A₁C₁CA所成角，

.

∴与平面A₁C₁CA所成角为.…………4分

（Ⅱ）分别延长AC，A₁D交于G. 过C作CM⊥A₁G 于M，连结BM，

    ∵BC⊥平面ACC­₁A₁，∴CM为BM在平面A₁C₁CA内的射影，

    ∴BM⊥A₁G，∴∠CMB为二面角B―A₁D―A的平面角，

    平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D为C₁C的中点，

    ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，，.

    即二面角B―A₁D―A的大小为.……………………8分

（Ⅲ）取线段AC的中点F，则EF⊥平面A₁BD.

证明如下：

∵A₁B₁C₁―ABC为直三棱柱，∴B₁C₁//BC，

∵由（Ⅰ）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，

∵EF在平面A₁C₁CA内的射影为C₁F，当F为AC的中点时，

C₁F⊥A₁D，∴EF⊥A₁D.

同理可证EF⊥BD，∴EF⊥平面A₁BD.……………………12分