Question

设函数f(x)＝x³－ax²－ax，g(x)＝2x²＋4x＋c.

(1)试问函数f(x)能否在x＝－1时取得极值？说明理由；

(2)若a＝－1，当x∈[－3,4]时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求c的取值范围.

Answer 1

(1)不能.由题意f′(x)＝x²－2ax－a，

假设在x＝－1时f(x)取得极值，则有f′(－1)＝1＋2a－a＝0，∴a＝－1，

而此时，f′(x)＝x²＋2x＋1＝(x＋1)²≥0，函数f(x)在R上为增函数，无极值.

这与f(x)在x＝－1有极值矛盾，所以f(x)在x＝－1处不能取得极值.

(2)设f(x)＝g(x)，则有x³－x²－3x－c＝0，∴c＝x³－x²－3x，

设F(x)＝x³－x²－3x，G(x)＝c，令F′(x)＝x²－2x－3＝0.解得x₁＝－1或

x＝3.

列表如下：

x	－3	(－3，－1)	－1	(－1,3)	3	(3,4)	4
F′(x)		＋	0	－	0	＋
F(x)	－9				－9		－

由此可知：F(x)在 (－3，－1)、(3,4)上是增函数，在(－1，3)上是减函数.

当x＝－1时，F(x)取得极大值F(－1)＝；当x＝3时，F(x)取得极小值F(3)＝－9.

F(－3)＝－9，F(4)＝－.

如果函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点.

所以－ <c<或c＝－9.