Question

设△ABC的外心为O，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．
（1）若

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，用

a

、

b

、

c

表示

OH

；
（2）求证：AH⊥BC；
（3）设△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，外接圆半径为R，用R表示

|OH|

．（外心是三角形外接圆的圆心）

Answer 1

分析：（1）利用向量的三角形法则即可；
（2）利用向量的三角形法则、外心的性质、

m

⊥

n

?

m

•

n

=0即可证明；
（3）利用向量模的计算公式、外心的性质即可求出．

解答：解：（1）由三角形法则可得

OH

=

OC

+

OD

=

OC

+(

OA

+

OB

)=

a

+

b

+

c

；
（2）∵

AH

=

AO

+

OH

=-

a

+(

a

+

b

+

c

)=

b

+

c

，

BC

=

OC

-

OB

=

c

-

b

，
∴

AH

•

BC

=(

c

+

b

)•(

c

-

b

)=

c

2-

b

2，
∵O点是△ABC的外心，∴|

c

|=|

b

|，
∴

AH

•

BC

=0，
∴

AH

⊥

BC

．即AH⊥BC
（3）|

OH

|2=(

a

+

b

+

c

)2=

a

2+

b

2+

c

2+2

a

•

b

+2

b

•

c

+2

a

•

c

=3R2+2R2(cos＜

a

，

b

＞+cos＜

b

，

c

＞+cos＜

a

，

c

＞)，
∵A=60°，点O是外心，∴＜

b

，

c

＞=120°，∴cos＜

b

，

c

＞=-

1

2

；
同理cos＜

a

，

c

＞=0，cos＜

a

，

b

＞=-

3

2

．
∴|

OH

|2=(2-

3

)R2．
∴|

OH

|=

2- 3

R=

8-2 12 4

R=

6 - 2

2

R．

点评：熟练掌握三角形外心的性质、向量的三角形法则、

m

⊥

n

?

m

•

n

=0及模的计算公式是解题的关键．