Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（ II）求数列{

2n

bn

}的前n项和D_n；
（ III）若数列{b_n}的前n项和为S_n，设 T_n=S_2n-S_n，求证：T_n+1＞T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由b_n=a_n-1得a_n=b_n+1，代入a_n-1=a_n（a_n+1-1），得b_n=（b_n+1）b_n+1，整理得b_n-b_n+1=b_nb_n+1，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（II）由

2n

bn

=n•2n，知Dn=2+2•22+3•23+…+n•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出D_n．
（III）由Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，知T_n=S_2n-S_n=（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

+

1

n+1

+…+

1

2n

）-（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

．由此能够证明T_n+1＞T_n．

解答：解：（Ⅰ）由b_n=a_n-1得 a_n=b_n+1代入 a_n-1=a_n（a_n+1-1），
得 b_n=（b_n+1）b_n+1，整理得 b_n-b_n+1=b_nb_n+1．（2分）
∵b_n≠0，否则 a_n=1，与 a₁=2矛盾．
从而得 

1

bn+1

-

1

bn

=1，
∵b₁=a₁-1=1
∴数列 {

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列．（4分）
∴

1

bn

=n，即bn=

1

n

．（6分）
（II）

2n

bn

=n•2n
∴Dn=2+2•22+3•23+…+n•2ⁿ（1）
∴2Dn=1•22+2•23+3•24+…+n•2ⁿ⁺¹（2）（6分）
-Dn=2+22+23+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1，
∴Dn=(n-1)2n+1+2．（8分）
（III）∵Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
∴T_n=S_2n-S_n=（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

+

1

n+1

+…+

1

2n

）-（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）
=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

．（12分）
证法1：∵Tn+1-Tn=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

-（

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

）
=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0
∴T_n+1＞T_n．（14分）
证法2：∵2n+1＜2n+2，
∴

1

2n+1

＞

1

2n+2

，
∴Tn+1-Tn＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0．
∴T_n+1＞T_n．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意迭代法、错位相减法的灵活运用．