Question

正四面体的内切球（与正四面体的四个面都相切的球）与外接球（过正四面体四个顶点的球）的体积比为（　　）

A．1：3

B．1：9

C．1：27

D．与正四面体的棱长无关

Answer 1

分析：作出正四面体A-BCD的高DE，延长CE，交AB于G，连接DG，过C作DG边上的高CF．在△CDG中加以研究，可得DE、CF的交点I就是内切球和外接球公共的球心，设正四面体棱长为1，可算出CE、GE、ED的长，利用Rt△DEG∽Rt△CEI得线段成比例，从而得出EI=

6

12

，DI=

6

4

，由此不难得到R与r的比值，从而得出体积比．

解答：解：过点D作DE⊥平面ABC，垂足为E，则E是正三角形ABC的中心
则根据球的对称性和正四面体的性质，得外接球和内切球的球心在同一点处，设为I，则I在高线DE上
延长CE，交AB于G，连接DG，过C作DG边上的高CF，则I在CF上
I到平面ABC的距离IE等于内切球半径r，ID=IC=R是外接球半径
设正四面体棱长为1，则
正△ABC中，CG=

3

2

，CE=

2

3

CG═

3

3

，GE=

1

3

CG=

3

6

，
Rt△DEG中，DG=CG=

3

2

，可得DE=

DG2-GE2

=

6

3

∵Rt△DEG∽Rt△CEI，
∴

EG

EI

=

DE

CE

，即

3

6

：EI=

6

3

：

3

3

，可得EI=

6

12

，所以ID=DE-EI=

6

4

即r=

6

12

，R=

6

4

，
可得

R

r

=1：3，体积比为1：27．
故选C．

点评：本题给出正四面体的外接球与内切球，求它们的体积之比，着重考查了正四面体的性质和球的内接、外切几何体等知识，属于中档题．