Question

已知数列{ a_n}、{ b_n}满足：．
（1）求a₂，a₃，；
（2）证数列{}为等差数列，并求数列{a_n}和{ b_n}的通项公式；
（3）设S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，求实数λ为何值时4λS_n＜b_n恒成立．

Answer 1

（1）解：∵，∴，，
，，．
∴；
（2）证明：由，
∴=，
∴，即a_n-a_n+1=a_na_n+1，
∴
∴数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列．
∴，则，
∴；
（3）解：由，
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=
=
=．
∴，
要使4λS_n＜b_n恒成立，只需（λ-1）n²+（3λ-6）n-8＜0恒成立，
设f（n）=（λ-1）n²+3（λ-2）n-8
当λ=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立，
当λ＞1时，由二次函数的性质知f（n）不满足对于任意n∈N^*恒成立，
当λ＜l时，对称轴n=
f（n）在[1，+∞）为单调递减函数．
只需f（1）=（λ-1）n²+（3λ-6）n-8=（λ-1）+（3λ-6）-8=4λ-15＜0
∴，∴λ≤1时4λS_n＜b_n恒成立．
综上知：λ≤1时，4λS_n＜b_n恒成立．
分析：（1）由给出的，循环代入a_n+b_n=1和可求解a₂，a₃；
（2）由a_n+b_n=1得a_n+1+b_n+1=1，结合，去掉b_n与b_n+1得到a_n+1与a_n的关系式，整理变形后可证得数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列，求出其通项公式后即可求得数列{a_n}和{ b_n}的通项公式；
（3）首先利用裂项求和求出S_n，代入4λS_n＜b_n，通过对λ分类讨论，结合二次函数的最值求使4λS_n＜b_n恒成立的实数λ的值．
点评：本题考查了等差、等比数列的通项公式，考查了数列的裂项求和，考查了数列的函数特性，训练了恒成立问题的求解方法，解答过程中注意分类讨论的数学思想，属中档题．