Question

【题目】在平面直角坐标系中， 圆为 的内切圆.其中.

（1）求圆的方程及 点坐标；

（2）在直线 上是否存在异于的定点使得对圆上任意一点，都有为常数 )？若存在，求出点 的坐标及的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）圆的圆心为，利用点到直线距离公式，求得半径，得到圆的方程，再由线段、线段均与圆相切，得到点；

（2）假设存在为常数 )，设，几何关系坐标化，转化成恒成立问题，进而得到或，分别代入并进行检验，得到定点.

（1）由知直线的方程为，

由于圆与线段相切，所以半径即圆的方程为.

由题意与线段相切，所以线段的方程为，即.

又与线段也相切，所以线段的方程为，即.

故

（2）设，则，，

若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，

都有为常数 )，等价于，

对圆上任意点恒成立.

即

整理得：

因为点在直线上，所以，由于在圆上，所以.

故对任意恒成立，

所以显然，所以故，

因为，解得：或；

当时，此时重合，舍去.

当时，

综上，存在满足条件的定点，此时.