Question

设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若

ED

=6

DF

，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），且x₁，x₂满足方程（1+4k²）x²=4，进而求得x₂的表达式，进而根据

ED

=6

DF

求得x₀的表达式，由D在AB上知x₀+2kx₀=2，进而求得x₀的另一个表达式，两个表达式相等求得k．
（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y₁=kx₁，y₂=kx₂，进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．

解答：解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为

x2

4

+y2=1，
直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．
如图，设D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，

且x₁，x₂满足方程（1+4k²）x²=4，
故x2=-x1=

2

1+4k2

．①
由

ED

=6

DF

知x₀-x₁=6（x₂-x₀），得x0=

1

7

(6x2+x1)=

5

7

x2=

10

7 1+4k2

；
由D在AB上知x₀+2kx₀=2，得x0=

2

1+2k

．
所以

2

1+2k

=

10

7 1+4k2

，
化简得24k²-25k+6=0，
解得k=

2

3

或k=

3

8

．
（Ⅱ）由题设，|BO|=1，|AO|=2．由（Ⅰ）知，E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），
不妨设y₁=kx₁，y₂=kx₂，由①得x₂＞0，根据E与F关于原点对称可知y₂=-y₁＞0，
故四边形AEBF的面积为S=S_△OBE+S_△OBF+S_△OAE+S_△OAF
=

1

2

|OB|•(-x1)+

1

2

|OB|•x2+

1

2

|OA|•y2+

1

2

|OA|•（-y₁）
=

1

2

|OB|(x2-x1)+

1

2

|OA|(y2-y1)
=x₂+2y₂
=

(x2+2y2)2

=

x 2 2 +4 y 2 2 +4x2y2

≤

2( x 2 2 +4 y 2 2 )

=2

2

，
当x₂=2y₂时，上式取等号．所以S的最大值为2

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大．