Question

【题目】已知函数（其中为常数）.

（1）判断函数的奇偶性；

（2）若不等式在时有解，求实数的取值范围；

（3）设，是否存在正数，使得对于区间上的任意三个实数，，，都存在以，，为边长的三角形？若存在，试求出这样的的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），偶函数； ，非奇非偶函数；（2）；（3）.

【解析】

（1）先由题意得到函数的定义域，再由函数奇偶性的定义，分别讨论与，即可判断出结果；

（2）先由题意，将问题转化为在上能成立；求出的最大值，即可得出结果；

（3）先假设存在正数满足题意；设，求出，将对于区间上的任意三个实数，，，都存在以，，为边长的三角形，转化为，任取，作差得到，分别讨论，，，四种情况，得出函数单调性，求出最值，列出不等式求解，即可得出结果.

（1）由题意可得：的定义域为，

又，

当，即时，，所以是偶函数；

当，即时，是非奇非偶函数；

（2）由不等式可得：，即，

所以不等式在时有解，

等价于在上能成立；

又在上单调递增，所以

因此，只需，解得；

即实数的取值范围是；

（3）假设存在正数满足题意；

设，则在上单调递减，

所以，则；

所以对于区间上的任意三个实数，，，都存在以，，为边长的三角形，等价于，

任取，所以，

则，

①当时，，所以，

即在上单调递增，

所以，，

由得，解得：，所以；

②当时，易得：在上单调递减，在上单调递增，所以，

，

由得：，解得：；

所以；

③当时，易得：在在上单调递减，在上单调递增，所以，

，

由得：，解得：，

所以；

④当时，，所以，

即在上单调递减，

所以，，

由得，解得，所以；

综上，，又为正数，所以.

即存在满足题意.