Question

已知幂函数,且在上单调递增.
(1)求实数的值,并写出相应的函数的解析式;
(2)若在区间上不单调,求实数的取值范围;
(3)试判断是否存在正数,使函数在区间上的值域为若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1) 或, (2)  (3)

试题分析：(1)由题意知,解得:.   2分
又 ∴或,   3分
分别代入原函数,得.   4分
(2)由已知得.   5分
要使函数不单调，则，则.   8分
(3)由已知,.    9分
法一:假设存在这样的正数符合题意,
则函数的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为,
因而,函数在上的最小值只能在或处取得,
又,
从而必有,解得.
此时,,其对称轴,
∴在上的最大值为,符合题意.
∴存在,使函数在区间上的值域为14分法二:假设存在这样的正数符合题意,
由(1)知,
则函数的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为,

点评：第二问中二次函数不单调需满足对称轴在给定区间内，第三问关于最值的考查需注意对称轴与给定区间的关系，从而确定给定区间上的单调性得到最值，一般求解时都要分情况讨论