Question

【题目】设椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足为线段的中点，且.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过、、三点的圆与直线相切，求椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，且实数的取值范围是.

【解析】

（1）设椭圆的焦距为，根据为线段的中点，求出点的坐标，然后由，可得出、、的等量关系，由此可计算出椭圆的离心率；

（2）由（1）可知点，圆的半径为，利用点到直线的距离为求出的值，进而可得出与的值，由此可得出椭圆的标准方程；

（3）由（2）可知，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据菱形的对角线相互垂直的性质可得，代入化简即可得出实数的取值范围.

（1）设椭圆的焦距为，则、，

为线段的中点，则点，且点的坐标为，

，，，，

即，可得，因此，椭圆的离心率为；

（2），的外接圆圆心为点，半径为，

由于直线与该圆相切，则，解得，则，，

因此，椭圆的标准方程为；

（3）由（2）可知，设点、，直线的方程为，

当时，直线与轴重合，此时，、、三点共线，不合乎题意，则，

联立，消去，化简得，

由韦达定理得，，

，，

，

根据菱形对角线相互垂直的性质可得，

，即，

即，整理得.

综上所述，在轴上存在点使得以、为邻边的平行四边形是菱形，且实数的取值范围是.