Question

设函数．
（Ⅰ）若在x=处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明．

Answer 1

（I）a=-6；（Ⅱ）①当a≥0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)；②当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，+∞)；（Ⅲ）详见解析.

试题分析：（I）f(x)的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行，则，求导、代入此式即可得a的值；（Ⅱ）求导得，由x>0，知>0，故只需考虑的符号．当a≥0时，对任意x>0，>0恒成立，函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)．当a<0时，令=0，解得，由此可得函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，+∞)；（Ⅲ）因为函数的图象与x轴交于A、B两点，由（Ⅱ）知必有 .不妨设A(，0)，B(，0)，且，
因为函数f(x)在(，+∞)上单调递减，于是要证<0成立，只需证：即．这个不等式怎么证？这是一个很常见的问题，都是将a换掉，只留，，然后将这个不等式变形为含的不等式，然后令，再利用导数证明.
试题解析：（I）由题知f(x)=2ax²+(a+4)x+lnx的定义域为(0，+∞)，
且．
又∵f(x)的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行，
∴，
解得a=-6．                          4分
（Ⅱ），
由x>0，知>0．
①当a≥0时，对任意x>0，>0，
∴此时函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)．
②当a<0时，令=0，解得，
当时，>0，当时，<0，
此时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，+∞)．      9分
（Ⅲ）不妨设A(，0)，B(，0)，且，由（Ⅱ）知，
于是要证<0成立，只需证：即．
∵，  ①
， ②
①-②得，
即，
∴，
故只需证，
即证明，
即证明，变形为，
设，令，
则，
显然当t>0时，≥0，当且仅当t=1时，=0，
∴g(t)在(0，+∞)上是增函数．
又∵g(1)=0，
∴当t∈(0，1)时，g(t)<0总成立，命题得证．          14分