Question

如图(1),已知ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为的等腰梯形.将它沿对称轴OO₁折成直二面角,如图(2).

                (1)

               (2)

(1)证明AC⊥BO₁;

(2)求二面角O-AC-O₁的大小.

Answer 1

(1)证明:由题设知OA⊥OO₁,OB⊥OO₁,所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA⊥OB.

从而AO⊥平面OBCO₁,OC是AC在面OBCO₁内的射影.

因为tan∠OO₁B=,

tan∠O₁OC=,

所以∠OO₁B=60°,∠O₁OC=30°.从而OC⊥BO₁.

由三垂线定理得AC⊥BO₁.

(2)解析:由(1)AC⊥BO₁,OC⊥BO₁,知BO₁⊥平面AOC.

设OC∩O₁B=E,过点E作EF⊥AC于F,连结O₁F(如图(3)),

                   (3)

则EF是O₁F在平面AOC内的射影,由三垂线定理得O₁F⊥AC,所以∠O₁FE是二面角OACO₁的平面角.

由题设知OA=3,OO₁=,O₁C=1,

所以O₁A=.

从而O₁F=.

又O₁E=OO₁·sin30°=,

所以sin∠O₁FE=,

即二面角O-AC-O₁的大小是arcsin.