Question

【题目】已知函数，.

（1）若在区间上不是单调函数，求实数的范围；

（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）;（3）详见解析.

【解析】

试题（1）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到，若不是单调函数，则不恒成立；（2）含参数不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单，常用到两个结论：（1），（2）.（3）与函数有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.

试题解析：解：（1）由

得，因在区间上不上单调函数

所以在上最大值大于0，最小值小于0

，

由，得

，且等号不能同时取，，即

恒成立，即

令，求导得

当时，，从而

在上是增函数，

由条件，

假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧

不妨设，则，且

是以为直角顶点的直角三角形，

是否存在等价于方程在且是否有解

①当时，方程为，化简，此方程无解；

②当时，方程为，即

设，则

显然，当时，，即在上为增函数

的值域为，即，当时，方程总有解

对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在轴上