Question

已知A、B、C是椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的三点，其中点A的坐标为(2

3

，0)，BC过椭圆M的中心，且

AC

•

BC

=0，|

BC

|=2|

AC

|．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且|

DP

|=|

DQ

|，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据点A的坐标求出a，然后根据

AC

•

BC

=0求出b，综合即可求出椭圆M的方程．
（2）根据题意设出直线方程，与（1）中M的方程联立，然后运用设而不求韦达定理进行计算，求出实数t的取值范围．

解答：解：（1）∵点A的坐标为（2

3

，0，）
∴a=2

3

，椭圆方程为

x2

12

+

y2

b2

=1                 ①
又∵|

BC

|=2|

AC

|．，且BC过椭圆M的中心O（0，0），
∴|

OC

|=|

AC

|．
又∵

AC

•

BC

=0，
∴△AOC是以∠C为直角的等腰三角形，
易得C点坐标为（

3

，

3

）
将（

3

，

3

）代入①式得b²=4
∴椭圆M的方程为

x2

12

+

y2

4

=1
（2）当直线l的斜率k=0，直线l的方程为y=t
则满足题意的t的取值范围为-2＜t＜2
当直线l的斜率k≠0时，设直线l的方程为y=kx+t
由

y=kx+t x2 12 + y2 4 =1

得（3k²+1）x²+6ktx+3t²-12=0
∵直线l与椭圆M交于两点P、Q，
∴△=（6kt）²-4（3k²+1）（3t²-12）＞0
即t²＜4+12k² ②
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
PQ中点H（x₀，y₀），
则H的横坐标x0=

x1+x2

2

=

-3kt

3k2+1

，
纵坐标y0=kx0+t=

t

3k2+1

，
D点的坐标为（0，-2）
由|

DP

|=|

DQ

|，
得DH⊥PQ，k_DH•k_PQ=-1，
即

t 3k2+1 +2

- 3kt 3k2+1

•k=-1，
即t=1+3k²．                                       ③
∴k²＞0，∴t＞1．                                 ④
由②③得0＜t＜4，
结合④得到1＜t＜4．
综上所述，-2＜t＜4．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，以及椭圆的标准方程问题．涉及直线与椭圆的位置关系，以及熟练运用韦达定理的方法．属于中档题．