Question

20．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．
（1）求角C；
（2）若$sin（B-\frac{π}{3}）=\frac{3}{5}$，求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB＞0，sinC＞0，可求$cosC=\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B-$\frac{π}{3}$）的值，由于A=$\frac{π}{3}$-（B-$\frac{π}{3}$），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．

解答 解：（1）由bsin2C=csinB，根据正弦定理，得2sinBsinCcosC=sinCsinB，…（2分）
因为sinB＞0，sinC＞0，
所以$cosC=\frac{1}{2}$，…（4分）
又C∈（0，π），
所以$C=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）因为$C=\frac{π}{3}$，
所以$B∈（0，\frac{2π}{3}）$，
所以$B-\frac{π}{3}∈（-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}）$，
又$sin（B-\frac{π}{3}）=\frac{3}{5}$，
所以$cos（B-\frac{π}{3}）=\sqrt{1-{{sin}^2}（B-\frac{π}{3}）}=\frac{4}{5}$．…（8分）
又$A+B=\frac{2π}{3}$，即$A=\frac{2π}{3}-B$，
所以$sinA=sin（\frac{2π}{3}-B）$=sin[$\frac{π}{3}$-（B-$\frac{π}{3}$）]…（12分）
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{4}{5}-\frac{1}{2}×\frac{3}{5}=\frac{{4\sqrt{3}-3}}{10}$．…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．