Question

如右图所示，等腰三角形△ABC的底边AB＝6，高CD＝3，

 

点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE＝x，V(x)表示四棱锥P－ACEF的体积．

 (1)求V(x)的表达式；

 (2)当x为何值时，V(x)取得最大值？

 (3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值

 

Answer 1

【答案】

(1)由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，

S_ΔABC＝9，S_△BEF＝·S_△BDC＝x²，

V(x)＝x(0＜x＜3)．

(2)V′(x)＝，所以x∈(0,6)时，V′(x)＞0 ，V(x)单调递增；6＜x＜3时V′(x)＜0 ，V(x)单调递减；因此x＝6时，V(x)取得最大值12；

(3)过F作MF∥AC交AD于M，则

＝＝＝，MB＝2BE＝12，PM＝6，

MF＝BF＝PF＝BC＝＝，

在△PFM中， cos∠PFM＝＝，

∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为.

【解析】略