Question

函数f（x）=

1

1+a•2bx

的定义域为R，且

lim

n→∞

f（-n）=0（n∈N*）
（Ⅰ）求证：a＞0，b＜0；
（Ⅱ）若f（1）=

4

5

，且f（x）在[0，1]上的最小值为

1

2

，试求f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下记S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N），试比较S_n与n+

1

2n+1

+

1

2

(n∈N*)的大小并证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）定义域为R，∴1+a•2^bx≠0，可得a≥0．若若a=0，f（x）=1为定值，与条件矛盾．故可得a＞0，
再由

lim

n→∞

f(-n)=0(n∈N*)来确定b＜0即可．
（Ⅱ）由f(1)=

4

5

可得a和b的一个关系，再由（1）可知知f（x）在[0，1]上为增函数，所以f（x）在[0，1]上的最小值为f（0）=

1

2

，又可得a和b的另一个关系，联立即可求出a和b．
（Ⅲ）由f（x）的解析式可知，f（n）＜1，所以S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）＜n，而n+

1

2n+1

+

1

2

＞n，故可比较大小．

解答：解（Ⅰ）∵f（x）定义域为R，∴1+a•2^bx≠0，即a≠-2^-bx而x∈R，∴a≥0．
若a=0，f（x）=1与

lim

n→∞

f（-n）=0矛盾，∴a＞0，∴

lim

n→∞

f(-n)=

lim

n→∞

1

1+a•2-bx

=

1(0＜2-b＜1) 1 1+a (2-b=1) 0(2-b＞1)

∴2^-b＞1即b＜0，故a＞0，b＜0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[0，1]上为增函数，
∴f（0）=

1

2

，即

1

1+a

=

1

2

，∴a=1，f（1）=

1

1+a•2b

=

4

5

，
∴2^b=

1

4

，∴b=-2，∴f（x）=

1

1+2-2x

=

4x

1+4x

=1-

1

1+4x

．
（Ⅲ）当k∈N*时，S_n＜n+

1

2n+1

+

1

2

，证明如下：
f（k）=1-

1

1-4k

＜1，∴f（1）+f（2）+f（3）++f（n）＜n
而n+

1

2n+1

+

1

2

＞n，∴k∈N*时，S_n＜n+

1

2n+1

+

1

2

点评：本题考查数列的极限及应用、求函数解析式、比较大小等知识，综合性强．考查逻辑推理能力和运算能力．