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    【题目】为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．如图茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．

    （1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；

    （2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀，请填写列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．

    甲班

    乙班

    合计

    优秀

    不优秀

    合计

    参考公式与临界值表： ．

    0.100

    0.050

    0.025

    0.010

    0.001

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    10.828

    【答案】（1） （2）有的把握

    【解析】试题分析：（1）利用茎叶图中所给数据列出有关事件的基本事件和个数，再利用古典概型的概率公式进行求解；（2）先利用所给数据列出列联表，利用卡方公式求值，再利用临界值表进行判定.

    试题解析：（1）甲班数学成绩不低于80分的同学有5个，其中分数不是87的同学不妨记为， ， ，分数为的同学不妨记为， ；从5位同学任选2名共有， ， ， ， ， ， ， ， ， 10个基本事件． 事件“成绩为87分的同学至少有一名被抽中”包含了7个基本事件，所以（成绩为87分的同学至少有一名被抽中）．

    （2）

    甲班

    乙班

    合计

    优秀

    6

    14

    20

    不优秀

    14

    6

    20

    合计

    20

    20

    40

    ，

    ∵，

    ∴在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩优秀与教学方式有关（我们有的把握认为成绩优秀与教学方式有关）．

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    图1图2

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