Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为

1

2

，且经过点(-1，

3

2

)，过点P（2，1）的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求直线l的方程以及点M的坐标；
（Ⅲ）是否存在过点P的直线l₁与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足

PA

•

PB

=

PM

2？若存在，求直线l₁的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，由题意解得a²=4，b²=3，故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-2）+1．所以（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0．因为直线l与椭圆相切，所以△=[-8k（2k-1）]²-4（3+4k²）（16k²-16k-8）=0．解得k=-

1

2

．由此可知切点M坐标为(1，

3

2

)．
（Ⅲ）若存在直线l₁满足条件，设直线l₁的方程为y=k₁（x-2）+1，代入椭圆C的方程得（3+4k₁²）x²-8k₁（2k₁-1）x+16k₁²-16k₁-8=0．设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），由△=[-8k₁（2k₁-1）]²-4（3+4k₁²）（16k₁²-16k₁-8）=32（6k₁+3）＞0．知k 1＞-

1

2

．由此可知存在直线l₁满足条件，其方程为y=

1

2

x．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，由题意得

1 a2 + 9 4b2 =1 c a = 1 2 a2=b2+c2.

解得a²=4，b²=3，故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-2）+1．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-2)+1

得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0．①
因为直线l与椭圆相切，所以△=[-8k（2k-1）]²-4（3+4k²）（16k²-16k-8）=0．
整理，得32（6k+3）=0．
解得k=-

1

2

．
所以直线l方程为y=-

1

2

(x-2)+1=-

1

2

x+2．
将k=-

1

2

代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为(1，

3

2

)．（9分）
（Ⅲ）若存在直线l₁满足条件，设直线l₁的方程为y=k₁（x-2）+1，代入椭圆C的方程得（3+4k₁²）x²-8k₁（2k₁-1）x+16k₁²-16k₁-8=0．
因为直线l₁与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
所以△=[-8k₁（2k₁-1）]²-4（3+4k₁²）（16k₁²-16k₁-8）=32（6k₁+3）＞0．
所以k 1＞-

1

2

．
又x1+x2=

8k1(2k1-1)

3+4 k 2 1

，x1x2=

16 k 2 1 -16k1-8

3+4 k 2 1

，
因为

PA

•

PB

=

PM

2，即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=

5

4

，
所以(x1-2)(x2-2)(1+k12)=|PM|2=

5

4

．
即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k12)=

5

4

，
所以[

16k12-16k1-8

3+4k12

-2

8k1(2k1-1)

3+4k12

+4](1+k12)=

4+4k12

3+4k12

=

5

4

，解得k1=±

1

2

．
因为A，B为不同的两点，所以k1=

1

2

．
于是存在直线l₁满足条件，其方程为y=

1

2

x．（13分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．