Question

（2011•钟祥市模拟）设函数f（x）=xⁿ（n≥2，n∈N^*）
（1）若F_n（x）=f（x-a）+f（b-x）（0＜a＜x＜b），求F_n（x）的取值范围；
（2）若F_n（x）=f（x-b）-f（x-a），对任意n≥a （2≥a＞b＞0），证明：F（n）≥n（a-b）（n-b）^n-2．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件，通过F_n（x）=f（x-a）+f（b-x）（0＜a＜x＜b），化简函数的表达式，通过函数的单调性，求出函数F_n（x）的取值范围；
（2）利用F_n（x）=f（x-b）-f（x-a），x≥a＞0，n≥a，说明函数的单调性，对任意n≥a （2≥a＞b＞0），利用作商法累加法，直接证明：F（n）≥n（a-b）（n-b）^n-2．

解答：解：（1）∵F_n（x）=f （x-a）+f（b-x）=（x-a）ⁿ+（b-x）ⁿ
F_n（x）=n（x-a）^n-1+n（b-x）^n-1•（-1）=n[（x-a）^n-1-（b-x）^n-1]
令F_n（x）=0得（x-a）^n-1=（b-x）^n-1
∵0＜a＜x＜b∴f （x）=xⁿ（n≥2，n∈N⁺）为单调增函数
∴x=

a+b

2

x	（a， a+b 2 ）	a+b 2	（ a+b 2 ，b）
Fn（x）	-	0	+
Fn（x）	单调减	极小值	单调增

∴F_n（x）_min=F_n（

a+b

2

）=（

b-a

2

）ⁿ+（

b-a

2

）ⁿ=

(b-a)n

2n-1

又F_n（x）在x=a，x=b处连续且F_n（a）=F_n（b）=（b-a）ⁿ
故

(b-a)n

2n-1

≤F_n（x）＜（b-a）ⁿ
即F_n（x）的取值范围为[

(b-a)n

2n-1

，（b-a）ⁿ）…（7分）
（2）证明：∵F_n（x）=f（x-b）-f（x-a）=（x-b）ⁿ-（x-a）ⁿ
∴F_n（x）=n[（x-b）^n-1-（x-a）^n-1]
则F_n（n）=n[（n-b）^n-1-（n-a）^n-1]
∵当x≥a＞0时F（x）＞0
∴当x≥a＞0时F_n（x）是关于x的增函数
∴当n≥a时，（n+1-b）ⁿ-（n+1-a）ⁿ＞（n-b）ⁿ-（n-a）ⁿ＞0
∴F_n（n+1）=（n+1）[（n+1-b）ⁿ-（n+1-a）ⁿ]＞（n+1）[（n-b）ⁿ-（n-a）ⁿ]
＞（n+1）[（n-b） （n-b）^n-1-（n-b） （n-a）^n-1]
=（n+1）（n-b）[（n-b）^n-1-（n-a）^n-1]
=

n+1

n

（n-b）•F（n）
而F_n（n）＞0
于是

Fn+1(n+1)

Fn(n)

＞

n+1

n

•（n-b）
而F（2）=2[（2-b）^2-1-（2-a）^2-1]=2（a-b）
当n≥3时
F（n）=

Fn(n)

Fn+1(n+1)

•

Fn-1(n-1)

Fn-2(n-2)

…

F3(3)

F2(2)

•F（2）
＞

n

n-1

•

n-1

n-2

…

3

2

•2（a-b）•（n-b）^n-2
=n（a-b）（n-b）^n-2
即F（n）≥n（a-b）（n-b）^n-2…（14分）

点评：本题是中档题，考查函数的单调性，解析式的化简，函数的值域的求法，作商法累积法是证明本题的关键，考查发现问题解决问题的能力，注意转化思想的应用．